Исследование функции на непрерывность

Пример 1

Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

, .

Решение

При :

В точке функция непрерывна

При -в этой точке функция не определена

В точке функция терпит разрыв 2-го рода

Пример 2

Задана функция . Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Решение

Функция задана на трех промежутках различными аналитическими выражениями. Каждое из этих выражений представляет собой элементарную функцию, которая является непрерывной на заданном промежутке. Поэтому функция может иметь разрывы лишь в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

Исследуем на непрерывность в каждой из этих точек.

В точке :

В точке правый предел функции не равен левому. В точке функция терпит разрыв 1-го рода.

В точке :

Односторонние пределы в точке равны между собой и равны значению функции в этой точке. В точке функция непрерывна.

Сделаем чертеж.