Оставить заявку:

Написать ВКонтакте
Viber: +375293830001
Отправить заявку на
e-mail

Телефон:
+375-29-383-00-01

Пример решения задачи. Эконометрические модели

Условие задачи

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

  • Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
  • Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
  • Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентов детерминации.
  • С помощью  –критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации
  • С помощью частных  –критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .
  • Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

1

7

3.7

9

11

10

6.8

21

2

7

3.7

11

12

11

7.4

23

3

7

3.9

11

13

11

7.8

24

4

7

4.1

15

14

12

7.5

26

5

8

4.2

17

15

12

7.9

28

6

8

4.9

19

16

12

8.1

30

7

8

5.3

19

17

13

8.4

31

8

9

5.1

20

18

13

8.7

32

9

10

5.6

20

19

13

9.5

33

10

10

6.1

21

20

14

9.7

35

Решение задачи

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

1

7

3.7

9

25.9

63

33.3

13.69

81

49

2

7

3.7

11

25.9

77

40.7

13.69

121

49

3

7

3.9

11

27.3

77

42.9

15.21

121

49

4

7

4.1

15

28.7

105

61.5

16.81

225

49

5

8

4.2

17

33.6

136

71.4

17.64

289

64

6

8

4.9

19

39.2

152

93.1

24.01

361

64

7

8

5.3

19

42.4

152

100.7

28.09

361

64

8

9

5.1

20

45.9

180

102

26.01

400

81

9

10

5.6

20

56

200

112

31.36

400

100

10

10

6.1

21

61

210

128.1

37.21

441

100

11

10

6.8

21

68

210

142.8

46.24

441

100

12

11

7.4

23

81.4

253

170.2

54.76

529

121

13

11

7.8

24

85.8

264

187.2

60.84

576

121

14

12

7.5

26

90

312

195

56.25

676

144

15

12

7.9

28

94.8

336

221.2

62.41

784

144

16

12

8.1

30

97.2

360

243

65.61

900

144

17

13

8.4

31

109.2

403

260.4

70.56

961

169

18

13

8.7

32

113.1

416

278.4

75.69

1024

169

19

13

9.5

33

123.5

429

313.5

90.25

1089

169

20

14

9.7

35

135.8

490

339.5

94.09

1225

196

Сумма

202

128.4

445

1384.7

4825

3136.9

900.42

11005

2146

Ср.знач.

10.100

6.420

22.250

69.235

241.250

156.845

45.021

550.250

107.300

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

 

Линейное уравнение множественной регрессии

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии:

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров :

 

либо воспользоваться готовыми формулами:

 

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

 

Находим:

 

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

 

Стандартизированное уравнение множественной регрессии

Коэффициенты  и  стандартизированного уравнения регрессии  находятся по формулам:

То есть уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

 

Коэффициенты эластичности

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Вычисляем:

 

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,503% или 0,214% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат    фактора   , чем фактора  .

 

Коэффициенты парной корреляции

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

 

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, так как ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим факторов при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

 

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции определить по формуле:

 

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

 

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98.4% и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной корреляции:

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на высокую (более 95%) детерминированность результата    в модели факторами   и  .

 

Критерий Фишера

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает  –критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение  –критерия Фишера:

 

Получили, что  (при ), то есть вероятность случайно получить такое значение  – критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

 

С помощью частных  –критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

Найдем  и .

 

 

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного  –критерия для  будет иным. , то есть вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного  – критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении,  в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

 

Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничится уравнением парной регрессии:

Сохранить ссылку на страницу в социальной сети:

Последнее обновление сайта:
18.09.2017
@mathminsk.com
2008-2017 Минск