Оставить заявку:

Написать ВКонтакте

Отправить заявку на
e-mail

Телефон:


Пример решения задачи. Эконометрические модели

Условие задачи

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

  • Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
  • Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
  • Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентов детерминации.
  • С помощью  –критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации
  • С помощью частных  –критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .
  • Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

1 7 3.7 9 11 10 6.8 21
2 7 3.7 11 12 11 7.4 23
3 7 3.9 11 13 11 7.8 24
4 7 4.1 15 14 12 7.5 26
5 8 4.2 17 15 12 7.9 28
6 8 4.9 19 16 12 8.1 30
7 8 5.3 19 17 13 8.4 31
8 9 5.1 20 18 13 8.7 32
9 10 5.6 20 19 13 9.5 33
10 10 6.1 21 20 14 9.7 35

Решение задачи

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

1 7 3.7 9 25.9 63 33.3 13.69 81 49
2 7 3.7 11 25.9 77 40.7 13.69 121 49
3 7 3.9 11 27.3 77 42.9 15.21 121 49
4 7 4.1 15 28.7 105 61.5 16.81 225 49
5 8 4.2 17 33.6 136 71.4 17.64 289 64
6 8 4.9 19 39.2 152 93.1 24.01 361 64
7 8 5.3 19 42.4 152 100.7 28.09 361 64
8 9 5.1 20 45.9 180 102 26.01 400 81
9 10 5.6 20 56 200 112 31.36 400 100
10 10 6.1 21 61 210 128.1 37.21 441 100
11 10 6.8 21 68 210 142.8 46.24 441 100
12 11 7.4 23 81.4 253 170.2 54.76 529 121
13 11 7.8 24 85.8 264 187.2 60.84 576 121
14 12 7.5 26 90 312 195 56.25 676 144
15 12 7.9 28 94.8 336 221.2 62.41 784 144
16 12 8.1 30 97.2 360 243 65.61 900 144
17 13 8.4 31 109.2 403 260.4 70.56 961 169
18 13 8.7 32 113.1 416 278.4 75.69 1024 169
19 13 9.5 33 123.5 429 313.5 90.25 1089 169
20 14 9.7 35 135.8 490 339.5 94.09 1225 196
Сумма 202 128.4 445 1384.7 4825 3136.9 900.42 11005 2146
Ср.знач. 10.100 6.420 22.250 69.235 241.250 156.845 45.021 550.250 107.300

 

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Линейное уравнение множественной регрессии

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии:

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров :

либо воспользоваться готовыми формулами:

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

Находим:

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

Стандартизированное уравнение множественной регрессии

Коэффициенты  и  стандартизированного уравнения регрессии  находятся по формулам:

То есть уравнение будет выглядеть следующим образом:

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

 

Коэффициенты эластичности

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Вычисляем:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,503% или 0,214% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат    фактора   , чем фактора  .

 

Коэффициенты парной корреляции

Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, так как ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим факторов при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

 

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции определить по формуле:

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

 

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98.4% и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной корреляции:

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на высокую (более 95%) детерминированность результата    в модели факторами   и  .

 

Критерий Фишера

Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает  –критерий Фишера:

В нашем случае фактическое значение  –критерия Фишера:

Получили, что  (при ), то есть вероятность случайно получить такое значение  – критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

 

С помощью частных  –критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

Найдем  и .

 

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного  –критерия для  будет иным. , то есть вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного  – критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении,  в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

 

Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничится уравнением парной регрессии:

Последнее обновление сайта:
26.10.2019
@mathminsk.com
2008-2019 Минск