Пример решения задачи. Решение системы линейных уравнений

Условие задачи

Проверьте совместность системы линейных уравнений и в случае совместности решите ее тремя способами:

по формулам Крамера;
матричным методом (с помощью обратной матрицы);
методом Гаусса.

Решение задачи

Проверка системы уравнений на совместность

Проверим систему уравнений на совместность. Для этого приведем расширенную матрицу системы к диагональному виду. Умножим 1-ю строку на 2, 2-ю строку на 6, 3-ю строку на 3. Вычтем 1-ю строку из 2-й, 3-й.

Упростим строки, для этого 1-ю строку разделим на 2, 2-ю строку разделим на 2. Умножим 2-ю строку на -2, 3-ю строку на 5. Вычтем 2-ю строку из 3-й.

Упростим строки, для этого 2-ю строку разделим на -2, 3-ю строку разделим на 39.

Минор 3-го порядка основной матрицы системы не равен нулю. Ранг основной матрицы системы равен 3. Минор 3-го порядка расширенной матрицы системы не равен нулю. Ранг расширенной матрицы системы равен 3. Ранги основной и расширенной матрицы системы равны -по теореме Кроннекера-Капели система уравнений совместна.

Решение системы уравнений методом Крамера

Решим систему уравнений методом Крамера:

Решение системы уравнений методом обратной матрицы

Решим систему уравнений при помощи обратной матрицы:

Алгебраические дополнения:

Обратная матрица:

Решение системы уравнений методом Гаусса

Решим систему уравнений методом Гаусса. Исходная система уравнений в соответствии с элементарными преобразованиями эквивалента следующей системе:

Ответ: .