Пример решения задачи. Нахождение предела функции.
Найти пределы
функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а)-г); с использованием
правила Лопиталя в пункте д)
a)
Имеем неопределенность
, т.к. пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Следовательно,
теорему о пределе частного здесь применять нельзя. Для раскрытия этой
неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:
Таким
образом:
б)
Имеем
неопределенность вида
, так как пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Для
раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на
выражение, сопряженное числителю, т.е. на
. Таким
образом,
в)
Имеем
неопределенность вида
, так как:
Преобразуем
функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел:
Таким образом:
г)
Имеем
неопределенность вида
. Для раскрытия
этой неопределенности воспользуемся формулой
и
первым замечательным пределом:
Таким
образом:
д)
Имеем
неопределенность вида
. Преобразуем исходную функцию:
Таким образом:
Имеем
неопределенность вида
. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся
правилом Лопиталя:
Окончательно
имеем:
