Предел функции
Пример
Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя в пунктах а)-г); с использованием правила Лопиталя в пункте д)
a)
Имеем неопределенность
, т.к. пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Следовательно, теорему о пределе частного здесь применять нельзя. Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители:
Таким образом:
б)
Имеем
неопределенность вида
, так как пределы числителя и знаменателя равны нулю.
Для
раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на
выражение, сопряженное числителю, т.е. на
. Таким
образом,
в)
Имеем
неопределенность вида
, так как:
Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел:
Таким образом:
г)
Имеем
неопределенность вида
. Для раскрытия
этой неопределенности воспользуемся формулой
и первым замечательным пределом:
Таким образом:
д)
Имеем
неопределенность вида
. Преобразуем исходную функцию:
Таким образом:
Имеем
неопределенность вида
. Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся
правилом Лопиталя:
Окончательно имеем:
