Статистические игры
Пример
Фермер
может посеять на данном участке одну из трех культур
. Урожайность каждой из
культур во многом зависит от погоды, которая может быть засушливой, нормальной или дождливой
(влияние других факторов не учитывается). Известна цена
одного центнера культуры
, а также урожайности
(ц/га) каждой культуры
– урожайность при засушливой погоде,
–урожайность при нормальной погоде,
– урожайность при дождливой погоде.
Многолетние наблюдения за погодой данного района показывают, что вероятности
засушливой, нормальной и дождливой погоды составляют соответственно
.
Требуется:
- придать описанной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу;
- пользуясь критериями Бейеса, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (величина параметра
для критерия Гурвица задается) выяснить, какую культура следует сеять, чтобы обеспечить наибольший доход.
Решение
Игровая схема
Игра парная, статистическая. В игре участвуют два игрока. Первый игрок - фермер. Его возможные стратегии:
- посадить 1-ю культуру
- посадить 2-ю культуру
- посадить 3-ю культуру
Второй игрок - природа. Под природой мы понимаем совокупность внешних условий, определяющих урожайность. Стратегии природы будут следующими:
– погода будет
засушливая
– погода будет
нормальная
– погода будет
дождливая
Платежная матрица
Составляем платежную матрицу. Элементы этой матрицы – цена реализации выращенного урожая.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или
|
|
|
|
|
6 | 9 | 3 |
|
5 | 10 | 30 |
|
8 | 12 | 4 |
Критерий Бейеса
При известных вероятностях воспользуемся критерием Бейеса.
Определяем средние выигрыши:
Оптимальной является стратегия
Критерий Вальда
Оптимальной
является стратегия
.
Критерий Сэвиджа
Составляем матрицу рисков:
|
|
|
|
|
|
2 | 3 | 27 | 27 |
|
3 | 2 | 0 | 3 |
|
0 | 0 | 26 | 26 |
Оптимальной
является стратегия
Критерий Гурвица
Согласно критерию Гурвица, наилучшим решением является чистая стратегия, соответствующая условию:
Оптимальной
является стратегия
В соответствии со всеми критериями фермеру необходимо выращивать 2-ю культуру.