Статистические игры

Пример

Фермер может посеять на данном участке одну из трех культур . Урожайность каждой из культур во многом зависит от погоды, которая может быть засушливой, нормальной или дождливой (влияние других факторов не учитывается). Известна цена  одного центнера культуры , а также урожайности (ц/га) каждой культуры    – урожайность при засушливой погоде,  –урожайность при нормальной погоде,  – урожайность при дождливой погоде. Многолетние наблюдения за погодой данного района показывают, что вероятности засушливой, нормальной и дождливой погоды составляют соответственно .

Требуется:

• придать описанной ситуации игровую схему и составить платежную матрицу;
• пользуясь критериями Бейеса, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (величина параметра  для критерия Гурвица задается) выяснить, какую культура следует сеять, чтобы обеспечить наибольший доход.

Решение

Игровая схема

Игра парная, статистическая. В игре участвуют два игрока. Первый игрок - фермер. Его возможные стратегии:

  - посадить 1-ю культуру

  - посадить 2-ю культуру

  - посадить 3-ю культуру

Второй игрок - природа.  Под природой  мы  понимаем  совокупность внешних условий, определяющих урожайность. Стратегии природы будут следующими:

 – погода будет засушливая

 – погода будет нормальная

 – погода будет дождливая

Платежная матрица

Составляем платежную матрицу. Элементы этой матрицы – цена реализации выращенного урожая.

Или

	6	9	3
	5	10	30
	8	12	4

Критерий Бейеса

При известных вероятностях воспользуемся критерием Бейеса.

Определяем средние выигрыши:

Оптимальной  является стратегия 

Критерий Вальда

Оптимальной является стратегия .

Критерий Сэвиджа

Составляем матрицу рисков:

	2	3	27	27
	3	2	0	3
	0	0	26	26

Оптимальной является стратегия

Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица, наи­лучшим решением является чистая стратегия, соответствующая условию:

Оптимальной является стратегия

В соответствии со всеми критериями фермеру необходимо выращивать 2-ю культуру.