Множественная линейная регрессия

Пример

1. Проверить однородность приведенных данных;

2. Найти парные коэффициенты корреляции и составить корреляционную матрицу. По полученным данным сделать вывод о тесноте связи между рассматриваемыми переменными. Вычислить коэффициент множественной корреляции и коэффициент детерминации.

3. Считая, что между результативным и факторными признаками имеет место линейная связь, найти линейное уравнение связи (регрессии). Для полученной линейной модели определить коэффициенты эластичности. Сделать выводы.

4. Проверить адекватность полученной модели по критерию Фишера, значимость коэффициентов регрессии и проанализировать полученные данные.

Зависимость уровня рентабельности от производительности труда , тыс.ден.ед. и продолжительности оборота оборотных средств приведена в таблице:

36 35 33 34 33 32 32 31 31 30 31 32
26 24 21 21 24 23 20 19 22 19 22 24
43 42 42 41 41 40 40 40 39 37 39 41

Решение

1) Составим расчетную таблицу:

1 26 43 36 676 1849 1296 1118 936 1548
2 24 42 35 576 1764 1225 1008 840 1470
3 21 42 33 441 1764 1089 882 693 1386
4 21 41 34 441 1681 1156 861 714 1394
5 24 41 33 576 1681 1089 984 792 1353
6 23 40 32 529 1600 1024 920 736 1280
7 20 40 32 400 1600 1024 800 640 1280
8 19 40 31 361 1600 961 760 589 1240
9 22 39 31 484 1521 961 858 682 1209
10 19 37 30 361 1369 900 703 570 1110
11 22 39 31 484 1521 961 858 682 1209
12 24 41 32 576 1681 1024 984 768 1312
Сумма 265 485 390 5905 19631 12710 10736 8642 15791

Для того, чтобы определить однородность данных найдем их средние значения:

и средние квадратические отклонения:

Т.к. значения среднеквадратических отклонений достаточно малы, то можно считать имеющиеся данные однородными.

Парные коэффициенты корреляции

2) Найдем коэффициенты корреляции и составим корреляционную матрицу:

Связь между факторными признаками и слабая ( ) и их можно включить в модель.

Корреляционная матрица имеет вид:

Коэффициент множественной корреляции

Найдем коэффициент множественной корреляции по формуле:

Коэффициент детерминации равен . Это значит, что изменение рентабельности на 82.1% зависит от изменения исследуемых факторов, а на долю других факторов приходится 17.9% изменения результативного показателя.


Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии

3) Коэффициенты уравнения регрессии можно найти, решив систему уравнений:

Подставляя в систему уравнений числовые значения, получаем:

Решим систему уравнений матричным методом:

Таким образом, искомые коэффициенты:

Уравнение регрессии:

Это уравнение выражает зависимость уровня рентабельности от производительности труда и продолжительности оборота оборотных средств. Коэффициенты уравнения показывают количественное воздействие каждого фактора на результативный показатель при неизменности других. В нашем примере рентабельность увеличивается на 0,142% при увеличении производительности труда на единицу и на 0,86% при увеличении продолжительности оборота оборотных средств на единицу.

Коэффициенты эластичности

Найдем коэффициенты эластичности:

Согласно полученным данным, рентабельность увеличивается на 0.097% при увеличении производительности труда на 1% и на 1.07% при увеличении продолжительности одного оборота на 1%.


Критерий Фишера

4) Найдем фактическое значение критерия Фишера:

Составим расчетную таблицу:

26 43 36 35.277 0.523 7.712
24 42 35 34.134 0.751 2.670
21 42 33 33.709 0.503 1.462
21 41 34 32.849 1.326 0.122
24 41 33 33.273 0.075 0.598
23 40 32 32.271 0.074 0.052
20 40 32 31.847 0.024 0.426
19 40 31 31.705 0.497 0.632
22 39 31 31.269 0.073 1.515
19 37 30 29.124 0.767 11.397
22 39 31 31.269 0.073 1.515
24 41 32 33.273 1.621 0.598
Сумма


6.304 28.699

Наблюдаемое значение F-критерия:

Найдем табличное значение:

Наблюдаемое значение F-критерия больше, чем табличное - модель адекватна исходным данным.


Значимость коэффициентов регрессии

Обратная матрица:


Точечные оценки средних квадратических отклонений:

По таблице критических точек распределения Стьюдента (по уровню значимости и числу степеней свободы ) находим:

Проверим гипотезу о равенстве нулю коэффициентов регрессии:

Для :

-гипотеза о равенстве нулю принимается

Для :

-гипотеза о равенстве нулю отклоняется

Для :

-гипотеза о равенстве нулю принимается

Данное уравнение можно использовать для практических целей:

а) оценки результатов хозяйственной деятельности;

б) расчета влияния факторов на прирост результативного показателя;

в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя;

г) планирования и прогнозирования его величины.