Пример решения задачи. Эконометрические модели

Условие задачи

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс.руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

• Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
• Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
• Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентов детерминации.
• С помощью  –критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации
• С помощью частных  –критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .
• Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

№				№
1	7	3.7	9	11	10	6.8	21
2	7	3.7	11	12	11	7.4	23
3	7	3.9	11	13	11	7.8	24
4	7	4.1	15	14	12	7.5	26
5	8	4.2	17	15	12	7.9	28
6	8	4.9	19	16	12	8.1	30
7	8	5.3	19	17	13	8.4	31
8	9	5.1	20	18	13	8.7	32
9	10	5.6	20	19	13	9.5	33
10	10	6.1	21	20	14	9.7	35

Решение задачи

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
1	7	3.7	9	25.9	63	33.3	13.69	81	49
2	7	3.7	11	25.9	77	40.7	13.69	121	49
3	7	3.9	11	27.3	77	42.9	15.21	121	49
4	7	4.1	15	28.7	105	61.5	16.81	225	49
5	8	4.2	17	33.6	136	71.4	17.64	289	64
6	8	4.9	19	39.2	152	93.1	24.01	361	64
7	8	5.3	19	42.4	152	100.7	28.09	361	64
8	9	5.1	20	45.9	180	102	26.01	400	81
9	10	5.6	20	56	200	112	31.36	400	100
10	10	6.1	21	61	210	128.1	37.21	441	100
11	10	6.8	21	68	210	142.8	46.24	441	100
12	11	7.4	23	81.4	253	170.2	54.76	529	121
13	11	7.8	24	85.8	264	187.2	60.84	576	121
14	12	7.5	26	90	312	195	56.25	676	144
15	12	7.9	28	94.8	336	221.2	62.41	784	144
16	12	8.1	30	97.2	360	243	65.61	900	144
17	13	8.4	31	109.2	403	260.4	70.56	961	169
18	13	8.7	32	113.1	416	278.4	75.69	1024	169
19	13	9.5	33	123.5	429	313.5	90.25	1089	169
20	14	9.7	35	135.8	490	339.5	94.09	1225	196
Сумма	202	128.4	445	1384.7	4825	3136.9	900.42	11005	2146
Ср.знач.	10.100	6.420	22.250	69.235	241.250	156.845	45.021	550.250	107.300

Линейное уравнение множественной регрессии

Стандартизированное уравнение множественной регрессии

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Коэффициенты эластичности

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,503% или 0,214% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат    фактора   , чем фактора  .

Коэффициенты парной корреляции

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, так как ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет 98.4% и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на высокую (более 95%) детерминированность результата    в модели факторами   и  .

Критерий Фишера

Получили, что  (при ), то есть вероятность случайно получить такое значение  – критерия не превышает допустимый уровень значимости 5%. Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, то есть подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного  –критерия для  будет иным. , то есть вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного  – критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении,  в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .