Пример решения задачи. Непрерывная случайная величина
Условие задачи
Плотность
вероятности случайной величины
задана выражением:
Найти:
- постоянный параметр
,
- функцию распределения
,
- математическое ожидание
,
- среднее квадратическое отклонение
,
- вероятность попадания
в
,
- построить графики
и
Решение задачи
Находим постоянный параметр
По
свойству плотности вероятности
учитывая,
что при
и
, получим
После
интегрирования и применения формулы Ньютона-Лейбница, получим уравнением
относительно
.
Окончательно
имеем:
Функция распределения
Функция распределения с плотностью распределения связаны формулой:
Так как
только для
, то по свойствам
имеем:
при
;
при
. Для
:
Окончательно
получаем:
Математическое ожидание
Для
непрерывной случайной
величины математическое ожидание рассчитывается по формуле:
В нашем
случае:
так как
вне
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Сначала находим
по формуле:
Тогда
найдем по формуле:
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Вероятность попадания случайной
величины в заданный интервал
можно найти по
формуле:
Графики функций
Построим графики
и
: