Непрерывная случайная величина

Пример

Плотность вероятности случайной величины  задана выражением:

Найти:

• постоянный параметр ,
• функцию распределения ,
• математическое ожидание ,
• среднее квадратическое отклонение ,
• вероятность попадания  в ,
• построить графики  и

Решение

Постоянный параметр

По свойству плотности вероятности

учитывая, что при  и   , получим

После интегрирования и применения формулы Ньютона-Лейбница, получим уравнением относительно .

Окончательно имеем:

Функция распределения

Функция распределения с плотностью распределения связаны формулой:

Так как  только для , то по свойствам  имеем:  при ;  при .  Для :

Окончательно получаем:

Математическое ожидание

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание рассчитывается по формуле:

В нашем случае:

так как вне  

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Сначала находим  по формуле:

Тогда  найдем по формуле:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал  можно найти по формуле:

Графики функций

График плотности распределения

График функции распределения