Пример решения задачи. Непрерывная случайная величина

Условие задачи

Плотность вероятности случайной величины  задана выражением:

Найти:

• постоянный параметр ,
• функцию распределения ,
• математическое ожидание ,
• среднее квадратическое отклонение ,
• вероятность попадания  в ,
• построить графики  и

Решение задачи

Находим постоянный параметр

По свойству плотности вероятности

учитывая, что при  и   , получим

После интегрирования и применения формулы Ньютона-Лейбница, получим уравнением относительно .

Окончательно имеем:

Функция распределения

Функция распределения с плотностью распределения связаны формулой:

Так как  только для , то по свойствам  имеем:  при ;  при .  Для :

Окончательно получаем:

Математическое ожидание

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание рассчитывается по формуле:

В нашем случае:

так как вне  

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Сначала находим  по формуле:

Тогда  найдем по формуле:

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал  можно найти по формуле:

Графики функций

Построим графики  и :

На сайте mathminsk.com имеется возможность получить платную помощь с учебой. Для этого необходимо оформить заявку, отправив сообщение Вконтакте, Viber или на электронную почту. Услугу онлайн-помощи на экзамена/зачетах (решение билета в течение часа) необходимо заказывать заранее, указав точную дату и время.